2维的概念。立方แ体以某种方式包含比直线更多的点，这个模糊的直观的观念，能够通过集合论的“维”概念以逻辑上无懈า可击的术语清楚地表述。这种概念对点的类或集是按照ั在它们的元素之间的“邻๑域关系”的丰度加以区别的：更高维的集具有更丰富的领ๆ域关系。维的概ฐ念，使我们能比较“较高”和“较低”维的类，这里将被用来处理比较可检验度的问题。这是可能的，因为ฦ基础陈述通过和其他基础陈述的合取结合起来又产生基础陈述，这个ฐ新产生的基础陈述比它们的组成部分“具有更高的复合度”；而基础陈述的这个复合度可以和维的概念联系起来。不过，必须使用被允许的事件的复合而不是被禁止的事件的复合。理由是，一个理论禁止的事件可以有任何复合度；另一方面，某些被允许的陈述之所以被允许，只是因为它们的形式，或者更确切地说，因为ฦ它们的复合度太低，以致使它们不能和该理论相矛盾；可以利用这个事实来比较维。
2๐维的概念。立方体以某种方式包含比直线更多的点，这个模糊的直观的观念，能ม够通过集合论的“维”概ฐ念以逻辑上无懈า可击的术语清楚地表述。这种概念对点的类或集是按照ั在它们的元素之间的“邻域关系”的丰度加以区别的：更高维的集具有更丰富的领ๆ域关系。维的概念，使我们能比较“较高”和“较低”维的类，这里将被用来处理比较可检验度的问题。这是可能的，因为基础陈述通过和其他基础陈述的合取结合起来又产生基础陈述，这个ฐ新产生的基础陈述比它们的组成部分“具有更高的复合度”；而基础陈述的这个复合度可以和维的概ฐ念联系起来。不过，必须使用被允许的事件的复合而不是被禁止的事件的复合。理由á是，一个理论禁止的事件可以有任何复合度；另一方แ面，某些被允许的陈述之所以被允许，只是因为它们的形式，或者更确切地说，因为ฦ它们的复合度太低，以致使它们不能和该理论相矛盾；可以利ำ用这个事实来比较维。
2．心理学主义的排除
2．心理学主ว义的排除
根据第6๔6๔节，公认的基础陈述可以多少令人满意地与某种所提出的概率估计一致；它们可更好或稍差ๆ一些代表概ฐ率序列的一个ฐ典型节段。这为某种方法论规则的应用提供了机会，例如要求基础陈述和概率估计之ใ间的一致应该符合某种最低限度标准这一规则。因此规则可引出某种任意的思路，并且规定只有适当代表性的节段或适当“公平的样本”才得以“允许”，而不典型的或没有代表性的节段是被禁止的。
对这种意见作更仔细的分析向我们表明，什么被允许和什么被禁止之ใ间的分界线的划ฐ定并不一定像起初ม想象的那样任意。尤其是无需“宽容地”划定这条分界ศ线。因为有可能用这种方式形成这条规则ท，使什么被允许和什么被禁止之ใ间的分界线，正如其他定律的情况一样，由我们的测量能达到的精确度来决定。
我们根据划界标准提出的方แ法论规则，不禁止不典型节段的出现；它也不禁止离差ๆ当然，对于概率序列是不典型的的重复出现。这条规则ท禁止的是系统离差ๆ的出现可预测和可复制ๆ，例如朝特定方向的离差ๆ，或肯定是不典型的节段的出现。因此它要求的不单是粗略๓的一致，而是对于可复制和可检验的一切，简言之，对于所有的可复制效应可能是最佳的一致。
69．定律和机遇
人们有时听说，行星的运动服从严格的定律，而一粒骰子的掷下是碰运气，或受机遇支配。我认为区别在于这个事实：迄今我们已能ม成功地预ไ测行星的运动，但还不能预ไ测掷骰子的个ฐ别结果。
为了演绎出预见，人们需要定律和初始条件；如果没有合适的定律或不能确定初始条件，科学的预见方แ法就垮台。掷骰子时我们所缺乏的显然是初始条件的充分知识。有了初ม始条件的足够精确的测定，也就有可能在这种情况下作出预见；但是选定正确掷骰子的规则ท摇摇骰子盒是为了防止我们测量初始条件。游戏规则以及确定某一随机序列ต的各种事件必将生的那些条件的其他规则，我称之为ฦ“框架条件”。它们由á这样一些要求组成，如骰子应该是“纯的”由同质物质组成，应该把它们好好地摇摇等等。
有一些其他情况，预见是不成功的。也许迄今还不可能提出合适的定律；也许现一个ฐ定律的所有尝试都已失败，并且所有的预见也被证伪。在这些情况下我们可能对究竟是否会找到เ一个满意的定律已失望。但是大概ฐ我们不会放弃尝试，除非问题已๐使我们不大感兴趣——例如如果我们满足于频率预ไ测，就是这种情况。然而，无论如何，我们不能定论地说，在某个特定的领域没有定律。这是证实不可能性的一个ฐ结果。这就是说，我的观点使机遇概ฐ念成为ฦ主观的。当我们的知识不足以作出预见时我就说“机遇”；正如掷骰子时，我们说“机遇”，因为我们对初始条件没有知识。可以设想，仪器设备精良的物理学家，能观测其他人预测不到的一次掷骰子的结果。
与这种主观观点相反，人们有时支持一种客观的观点。就这种观点利用事件本身是指决定的还是不决定的这种形而上学观念而言，我将不在这里对这种观点作进一步的考察参阅第7๕1้和78节。如果我们的预见获得成功，我们可以谈到เ“定律”；否则我们对定律或不规则ท性的存在或不存在不可能有任何知识。
也许比这个ฐ形而上学观念更值得考虑的是下面的观点。可以说，当我们的概率估计得到เ验证时，我们遇到客观意义แ上的“机遇”；正如当我们遇到因果规律性时一样。
蕴涵在这观点中的机遇定义可能不全是无用的，但是应该有力强调，如此定义แ的概念并不与定律概ฐ念相对立：正是由于这个理由我称概ฐ念序列是似机遇的。一般地说，一个ฐ实验结果的序列ต是似机遇的，如果定义序列ต的框架条件不同于初始条件的话；当在同一框架条件下进行的个ฐ别实验，在不同的初ม始条件下进行时，就会产生不同的结果。其元素า根本不可预测的似机遇序列ต是否存在，我不知道。我们甚至不能从某个序列是似机遇的这个事实，推论出它的元素า是不可预ไ测的，还是或者推论出它们“由于”在主ว观的知识不足意义上的“机遇”所致；我们尤其不能从这个ฐ事实推论出定律不存在的“客观”事实。
不仅不可能ม从序列的似机遇性质中推论出任何与定律一致的东西，或者在另一方面与个ฐ别事件一致的东西；甚至不可能ม从概率估计的验证推论出序列本身是完全不规则的。因为ฦ我们知道似机遇序列是存在的，这些序列是根据数学规则建构的。一个ฐ序列具有Bernoulli分布这个ฐ事实不是不存在定律的征候，与“根据定义”不存在定律完全不是一回事。我们在概率预ไ测成功中看到的不过是在序列结构中ณ不存在简单定律的征候参阅第4๒3和4๒8节——与构成序列的事件相反。不受后效约束的假定相当于这样的假说：这种简单的定律是不可现的，这个ฐ假定得到验证，但这就是一切。
70．从微观定律推演宏观定律的可能性
有一种学说几乎已成为偏见，虽然它在最近已๐受到严å厉的批评——所有可观察的事件必须解释为宏观事件，即解释为ฦ一些微观事件的平均数或累计或总和的学说这个学说有点类似某些形式的唯物主义。像其他这种学说一样，这似是某一方法论规则ท的形而上学具体化，而这条规则本身是完全无可非议的。我指的是这条规则：我们应该看看我们是否能ม用上述类型的解释性假说简化、概ฐ括或统一我们的理论。在评论这些尝试的成功时，认为关于微观事件的非统计假说及其相互作用定律就能足以说明宏观事件，这是个错误。除此以外，我们应该需要假说性的频率估计，因为ฦ从统计前提中ณ只能ม推导出统计结论。这些频率估计总是独立的假说，当我们从事研究与微观事件有关的定律时，这些假说的确不时出现在我们脑中ณ，但是它们决不能ม从这些定律中推导出来。频๗率估计形成一类特殊的假说：一般地说，它们是与规律性有关的禁律。vonmises对这一点说得十分清楚：“没有统计学性质的补充假定，在气体动力理论中甚至最微不足道的定理也不是单从经典物理学中ณ推导出来的”。
统计学估计或频๗率陈述决不能从“决定论”性质的定律中ณ推导出来，理由是为了从这些定律中演绎出任何预ไ见，需要初始条件。在初ม始条件那ว里，关于初始条件统计学分布的假定——也就是说特定的统计学假定——进入了演绎过程，统计学定律就是通过演绎从决定论性质或“精确”性质的微观假定中获得的。
理论物理学的频率假定在一定程度上是等机遇假说，这是一个令人惊异的事实，但这无论如何并不是意味着它们是“自明的”，或先验地正确的。它们远非如此，这一点从经典统计学、Bose－einstein统计学和fermi－diraທcນ统计学之间的广泛差ๆ异中ณ就可看到เ。这些表明特定的假定如何可与一个ฐ等机遇的假说结合起来，在每一种情况下都导致参考序列ต的主要性质假定其分布是均等的的不同定义。
下面的例子也许可证明这个事实：甚至当我们想摆脱频率假定时，它们也是必不可少的。
想象一个ฐ瀑布。我们可辨认某种奇特的规律性：组成瀑布的水流的大小是变化的；不时地飞溅从主流中ณ甩出来；然而在贯穿所有这些变化中，某种规律性明显可见，它强烈提示有一种统计学效应。尽管有一些尚未解诀的液ຂ体动力学问题与涡流的形成有关等等，我们在原则上能ม够以任何所需程度的精确性，预测任何量水——比方แ说一组分子——的路线，如果给定足够精确的初ม始条件的话。因此我们可以假定，有可能预ไ言远在瀑布之ใ上的任何分子，在哪一点上它将越过边缘，到达底部等等。这样原则上可计算出任何数量分子的路线；并且给定充分的初始条件，我们就能在原则上演绎出瀑布的任何一种个别的统计学涨落。但是只能是这种或那种个ฐ别的涨落的，而不是我们已๐描述过的反复生的统计学规律性，一般统计学分布就更不行了。为了说明这些，我们需要统计学估计——至少假定某些初ม始条件对于许多不同组的粒子等于一个全称陈述将一次又一次地反复出现。我们获得一个统计结果，当且仅当我们作出这些特定的统计学假定——例如关于反复出现的初ม始条件频率分布的假定——时。
71．形式上单称的概ฐ率陈述
我称一个概ฐ率陈述为ฦ“形式上单称的”，当它把某一概率赋予某个单一偶事件或某类偶事件的单个ฐ元素时；例如，“用这个骰子掷下一次得5๓的概率是1／6”或“用这个骰子掷任何一次得5的概率是1้／6”。从频๗率理论观点看，一般认为ฦ这些陈述是不十分正确的表述，因为ฦ不能把概率归之ใ于单个偶事件，而只能归之于偶事件或事件有限序列。然而借助客观概率或相对频率概念用适当定义的形式上单称的概ฐ率把这些陈述解释为ฦ正确的陈述是容易的。我用“pαkβ”表示这形式上单称的概ฐ率：作为序列α的一个元素า，某一偶事件k有性质β——符号为keα——于是我定义形式上单称的概ฐ率如下；
pαkβ＝αfβkeα定义这可用文字表达如下：事件k具有性质β——设k为ฦ序列α的一个元素า——的形式上单称的概率，根据定义แ等于性质β在参考序列α内的概率。
这个简单的几乎一目了然的定义แ证明令人惊异地有用。它甚至可帮助我们澄清现代量予理论的某些复杂问题参阅第75－7๕6节。
正如定义แ所表明的，如果一个ฐ形式上单称的概ฐ率陈述没有明确说出一个ฐ参考类，它就是不完全的。但是虽然α常常没有明确提及，在这些情况下我们往往知道α是什么เ意思，因此上述第一个ฐ例子没有具体规定任何参考序列ตα，但是十分清楚它与掷真的骰子的所有序列ต有关。
在许多情况下，对一个事件k可以有若干不同的参考序列ต。在这些情况下非常明显，对同一事件可以作出不同的形式上单称的概率陈述。因此一个个ฐ别的人k将在一定时期内死亡这种概ฐ率可根据我们认为ฦ他是他的年龄组的一员，还是他的职业组的一员等等来假定十分不同的值。对于应该从若干可能ม的参考类中选定哪一个，不可能ม制定一个ฐ一般规则ท。最窄的参考类往往最合适，假如它多到足以使概率陈述立足于合理的统计外推，并且得到เ足够量验证证据的支持的话。
一旦我们认识到เ同一偶事件或事件可以有不同的概率，作为不同参考类的一个ฐ元素，不少所谓概率悖论就消失了。例如，有时有人说，一个ฐ事件的概ฐ率αpkβ在它出现以前不同于同一事件在它出现以后的概率：在以前它等于1／6，而在以后可能只等于1้或0。当然这个观点是完全错误的。αpkβ在出现以前和以后总是相同的。除了根据信息keβ或ke——根据时偶事件的观察提供给我们的信息——我们可选取一个新的参考类，即β或，然后向βpkβ值是什么以外，什么也没有变化。这个概率值当然是1；而pkβ＝0。告诉给我们关于单个偶事件实际结局的陈述——不是关于某个频率，而是关于“keφ”形式的陈述——不能改变这些偶事件的概率；然而，它们可提示ิ我们选取另一个参考类。
形式上单称的概率陈述概念提供了一种通向主观理论，从而也就通向域range理论的桥梁，正如下节将表明的那ว样。因为我们会同意把形式上全称的概率解释为ฦ“理性信仰程度”依照keynes——假如我们允许我们的“理性信仰”受某一客观的频率陈述指导的话。因此这种陈述还是我们的信仰所依靠的信息。换言之，也可能ม有这样的事：我们除了知道某个事件属于某一参考类，某个ฐ概ฐ率估计在其中受到เ了成功的检验外，对它一无所知。这个信息并不能使我们预见这个事件的性质将是什么；但是它能ม使我们表达借助某种形式上单称的概率陈述知道它的一切，这种陈述看起来像关于所谈论的特定事件的不确定预见。
因此，我不反对关于单个ฐ事件概率陈述的主观解释，即解释为ฦ不确定的预见——可以说，承认我们对所谈论的特定事件缺乏知识的确，关于这个ฐ事件什么เ结论也不能ม从某个ฐ频率陈述中得出。那就是说，我不反对概率陈述的主观解释，只要我们明确承认客观频率陈述是基本的，因为只有它们是可用经验检验的。然而，我反对把这些形式上单称的概率陈述——这些不确定预见——解释为ฦ关于客观事态的陈述，但不反对解释为客观统计事态的陈述。我脑子里有这样一种观点：关于掷骰子概率为ฦ1／6的一个陈述不仅是承认我们不知道任何确定的事情主观理论，而且是关于掷下一次的断言——断言它的结果客观上既是不确定的又是非决定的——是关于某种仍悬而未决的事情的断言。我认为ฦ所有作出这种客观解释除了别人外，eans作过充分的讨论的尝试都是错误的。不管这些解释可能造成一些什么样的非决定论气氛，它们全都包含这样的形而上学思想：不仅我们能ม演绎出和检验预见，并且除此之外自然界或多或少是“决定的”或“非决定的”；因此预见的成败不应用它们由á之演绎出来的定律来解释，而是先由á这样一个事实来解释：自然界实际上是或不是根据这些定律组成的。
72．域理论
我在第34节中ณ说，一个可证伪程度比另一陈述更高的陈述可被描述为ฦ逻辑上更不可几的陈述；而不那么可证协的陈述则是逻辑上更可几的陈述。逻辑上不那么可几的陈述衍推出逻辑上更可几的陈述。在逻辑概ฐ率概念和客观的或形式上单称的数值概率概ฐ念之间有密切关系。某些概率哲学家Bolzano，vonkries，9๗aທismann曾试图把概ฐ率计算立足于逻辑域，因此立足于一个与逻辑概率一致的概ฐ念参阅第37节；并且他们在这样做时，也试图弄清逻辑概率与数值概率之间的密切关系。
9aທismaທnn曾建议用与不同陈述相应的相对频๗率测定它们逻辑域之ใ间的相互关系程度可以说它们的比值，从而把频率看作为决定一个测定域的系统的东西。我认为ฦ在此基础上建立概ฐ率论是可行的。的确我们可以说，这个计划就是使相对频๗率同某些“不确定的预见”相关起来——正如当我们定义แ形式上的单称概率陈述时在前一节已经做的一样。
然而必须ี说，仅当一个ฐ频๗率理论已经建构时，这种定义概率的方法才是可行的。否则人们就得问在定义测定系统时使用的频率本身又是如何定义的。然而，如果我们手中ณ已经有某个频๗率理论，那么引入域理论实际上就成为多余的。但是尽管有这种异议，我认为ฦ9๗aທismann建议的可行性是重要的。现一个ฐ更全面的理论能ม够填补解决这个问题的各种尝试之ใ间，尤其是在主观和客观解释之间的鸿沟——起初似乎是不可填补的。然而9aismann的建议要求作一点修改。他的域比值概ฐ念参阅第48节注不仅要求域能借助它们的子类关系或它们的衍推关系加以比较；而且它更一般地要求使甚至只是部ຖ分交迭的域不可比较的陈述的域也能ม够成为ฦ可以比较的。然而这后一个ฐ假定有相当的困难，它是多余的。有可能表明，在有关的情况下为随机情况子类的比较和频๗率的比较必定导致类似的结果。这证明为ฦ了测定域而把频率与域相关起来的方法是对的。我们在这样做时，就使所谈论的陈述按子类方法是不可比较的成为ฦ可以比较的。我将粗略๓地表明所描述的方法如何可得到证明。
如果在两个ฐ性质类γ和β之间，子类关系
γB
成立，则：
k〔fsbkeγ≥fsbຘkeβ〕参阅第33节
因此逻辑概率或陈述keγ的域必须ี小于或等于keβ的域。它将是相等的，仅当有一个参考类α它可以是全称类时，对于这个ฐ参考类下列ต规则成立，这个规则ท可以说具有“自然律”的形式：
x{xeα．β→xeγ}α．β
如果这种“自然律”不成立，因此我们可假定在这个ฐ方面有随机性，那么不等性就成立。但是在这个情况下我们就得到下式，假如α是可数的，并可承认为一个参考序列ต：
αfγ＜αfβ
这就是说，在随意性情况下，域的比较必须ี导致同样的不等性，正如相对频率的比较一样。因此，如果我们有随机性，我们就可把相对频率同域相关起来，以使域成为可测量的。但是这正是我们在第71节中ณ当我们定义形式上单称的概率陈述时所做的虽然是间接地。的确，我们可以从这些假定中直接推论出
αpkγ＜αpkβ
这样我们就回到เ了我们的出点，概ฐ率解释问题。并且我们现在现，客观和主ว观理论之间的冲突，初看似乎是如此难办，可用某种一目了然的形式上单称的概率的定义แ来完全消除。
第九章对量子论的若干意见
我们对概率论的分析，已使我们掌握一些工具，我们现在可通过应用它们于现代科学一个主要问题来检验它们；并且我将借它们之ใ助试图分析和澄清现代量子论若干更为模糊不清的论点。
我用哲学或逻辑方法解决物理学中心问题之一的有点大胆的尝试，必定会引起物理学家的怀疑。我承认他的怀疑是正当的，他的怀疑是有充分根据的，然而我希望我也许能够克服他们。同时，值得注意的是在每门科学分支中ณ，成堆的问题主要是逻辑的。量子物理学家一直渴望参与认识论讨论，这是事实。这提示他们本身感到量子论中某些仍未解决的问题的解法不得不在逻辑与物理学之间的无人岛上寻找。
我将开始就预先记下将从我的分析中ณ得出的主要结论。
1้量子论中有一些数学公式被heisenberg用他的测不准原理加以解释；即关于由于我们在测量时达到的精确性的限制所致的测不准域的陈述。我将试图证明，这些公式应解释为形式上单称的概率陈述参阅第71节；这意味着它们本身必须用统计学来加以解释。对这个公式作如此解释就是断言：在统计学上“分散”或“方แ差”或“离散”的某些域之ใ间有一定的关系它们在这里被称为“统计学的离散关系”。
2我将要试图证明，比测不准原理允许的精确性程度更高的测量与量子论的公式系统或及其统计学解释并不是不相容的。因此如果这样一种精确度终究成为ฦ可能，量子论不一定被反驳。
3๑所以heisenbຘerg所断ษ言的可达到的精确性极限的存在，并不是从理论公式中ณ演绎出来的逻辑推断，更确切地说，它是一个孤立的或附加的假定。
4此外，正如我将试图证明的那样，如果量子论的公式在统计学上得到เ解释，那ว么heisenberg的这个ฐ假定实际上与这些公式是矛盾的。因为ฦ不仅更精确的测量与量子论相容，而且甚至有可能ม描述表明更确切的测定有可能的想象实验。在我看来，正是这个矛盾引起了所有那ว些困难，现代量子物理学的令人赞叹的结构就受这些困难困扰；以致thirring谈到量子论时说，它“留下了一个难解的秘密给它的创น始人，这是他们自己้承认的”。
下面所述也许可描述为对量子论基础的研究。在这个研究中，我将避免一切数学论证和一切数学公式，除一个ฐ例外。这是可能的，因为我将不对量子论数学公式系统的正确性提出疑问，我将只关心归功于Bohn的物理解释的逻辑推断。
至于“因果性”的争论，我提出不同于现在如此流行的非决定论形而上学的意见。非决定论形而上学与直到เ最近才在物理学家中ณ风行的决定论形而上学的区别，与其说在于它非常清晰，不如说它极无成果。
在清晰性方面，我的批判常常是严å厉的。所以不妨可以在这里说我认为现代量子论创始人的成就是整个科学史上最伟大的成就之一。
7๕3．heisenberg的纲领和测不准关系