但是，倘若你能做出一种陈述，并且发现你不能证明它既是如此又非如此的话，又将怎么样呢？
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随着这个ฐ伟大人物和这部伟大著作的出现，古希腊人加在人们思想上的枷锁终于被打碎了，现代人在智慧上的全部ຖ自卑感永远被打破了。
随着这个伟大人物和这部伟大著作的出现，古希腊ຘ人加在人们思想上的枷锁终于被打碎了，现代人在智慧上的全部ຖ自卑感永远被打破了。
现在让我们进一步提出这样一个问题：－1的平方แ根是多少？
对于这个问题，我们感到เ有点为难。答案不是＋1，因为＋1้的自乘是＋1；答案也不是－1้，因为ฦ－1的自乘同样是＋1。当然，（＋1）x（－1）＝（－1้），但这是两个不同的数的相乘，而不是一个数的自乘๖。
这样，我们可以创造出一个数，并给它一个专门的符号，譬如说＃1，而且给它以如下的定义แ：＃1是自乘时会得出－1的数，即（＃1）x（＃1้）＝（－1）。当这种想法刚提出来时，数学家都把这种数称为ฦ“虚数”这只是因为这种数在他们所习惯的数系中并不存在。实际上，这种数一点也不比普通的“实数”更为ฦ虚幻。这种所谓“虚数”具有一些严å格限定的属性，而且和一般实数一样，也很容易处理。
但是，正因为ฦ数学家感到这种数多少有点虚幻，所以给这种数一个专门的符号“i”(เimaginaທry)แ。我们可以把正虚数写为（＋i），把负虚数写为（－i），而把＋1看作是一个ฐ正实数，把（－1）看作是一个ฐ负实数。因此我们可以说√￣（－1้）＝±i。
实数系统可以完全和虚数系统对应。正如有＋5๓，－17๕．32，＋3／1้0等实数一样，我们也可以有＋5i，－1้7๕．32i，＋3i／10等虚数。
我们甚至还可以在作图时把虚数系统画出来。
假如你用一条以0点作为中点的直线来表示一个ฐ正实数系统，那么，位于0่点某一侧的是正实数，位于0点另一侧的就是负实数。
这样，当你通过0点再作一条与该直线直角相交的直线时，你便可以沿第二条直线把虚数系统表示出来。第二条直线上0点的一侧的数是正虚数，0点另一侧的数是负虚数。这样一来，同时使用这两种数系，就可以在这个平面上把所有的数都表示出来。例如（＋2）＋（＋3๑i）或（＋3）＋（－2i）。这些数就是“复数”
数学家和物理学家发现，把一个ฐ平面上的所有各点同数字系统彼此联系起来是非常有用的。如果没有所谓虚数，他们就无法做到เ这一点了。